Соотношение суммы значений выборки и среднего по выборке в ЦПТ

В Центральной предельной теореме (ЦПТ) сумма значений выборки и средняя по выборке тесно связаны. Среднее по выборке является линейным преобразованием суммы (сумма, делённая на размер выборки). Следовательно, если сумма независимых одинаково распределённых случайных величин стремится к нормальному распределению, то и их среднее также будет стремиться к нормальному распределению, отличаясь лишь масштабом и дисперсией.

Центральная предельная теорема (ЦПТ) — это ключевое утверждение в теории вероятностей и математической статистике. Она гласит, что при достаточно большом размере выборки распределение выборочных средних (или сумм) будет приближаться к нормальному распределению, независимо от исходного распределения генеральной совокупности. Это позволяет использовать нормальное распределение для построения доверительных интервалов и проверки гипотез.

ЦПТ в своей классической формулировке применяется к сумме независимых одинаково распределённых случайных величин, то есть взятых из одной генеральной совокупности. Однако, поскольку среднее по выборке — это сумма, делённая на размер выборки, их распределения связаны линейным преобразованием. Это означает, что ЦПТ для среднего напрямую следует из ЦПТ для суммы.

Таким образом, распределения как суммы, так и среднего по выборке, при увеличении размера выборки, приближаются к нормальному распределению. Главное различие между ними заключается в их дисперсии и масштабе. Если стандартное отклонение генеральной совокупности равно σ, а размер выборки n, то стандартное отклонение распределения средних (стандартная ошибка среднего) будет σ/√n, тогда как для сумм оно будет σ√n. Оба приближаются к нормальному распределению, просто с разным масштабом.